Teoria qualitativa e estabilidade de Lyapunov para sistemas de equações de ordem fracionária e uma aplicação em um modelo SIR-SI para a dengue

Neste trabalho fazemos o estudo da teoria de equações diferenciais fracionárias do ponto de vista qualitativo. Para isso, estudamos teoremas de existência, unicidade e prolongamento de soluções, teoria de comparação, teoria de estabilidade de Lyapunov para sistemas de ordem fracionárias e fazemos uma aplicação desses resultados. Fizemos uso da teoria desenvolvida para estudar um modelo matemático para a transmissão do vírus da Dengue via equações diferenciais com a derivada fracionária de Caputo, cujo o modelo está disponível na literatura. Desse modo, é fundamental a análise do comportamento assintótico, ou seja, o que acontece com as soluções quando faz-se o tempo tender para o infinito, na qual, utilizou-se a Estabilidade de Lyapunov. Seguiu-se uma linha numérica, na qual foram realizadas simulações para validação do modelo adotado e investigação da estabilidade assintótica global dos pontos de equilíbrio. Assim, foram considerados quatro valores como condições iniciais, cujas soluções convergem para os pontos de equilíbrio. Além disso, foi feito a comparação com uma simulação utilizando equações diferenciais ordinárias e constatou-se que as soluções do modelo de ordem fracionária tem menos oscilações por garantir um sistema de amortecimento, fazendo com que as soluções convirjam em menor velocidade.