Cálculo fracionário em problemas de otimização e cinética química

Abstract

Este trabalho compara métodos que generalizam o Gradiente Descendente para ordens fracionárias, avaliando convergência e eficiência. De modo geral, tais extensões se mostram ineficazes. Propomos então o Método Fracionário Contínuo no Tempo, que substitui a derivada clássica por uma derivada temporal fracionária, garantindo convergência ao ponto extremo da função. Ressalta-se que convergência não implica estabilidade do ponto de equilíbrio da equação diferencial associada. Simulações computacionais mostram que o parâmetro de otimização converge ao ponto extremo para ordens fracionárias entre 1 e 2. Também discutimos vantagens e limitações dessas generalizações, testando os algoritmos em problemas químicos multivariados.

A Ressonância Plasmônica de Superfície (SPR) transformou o estudo das interações entre ligante imobilizado (LS) e analito em solução (A), permitindo medir reações em tempo real com alta sensibilidade. A cinética de adsorção–dessorção A + LS ⇌ ALS é tradicionalmente descrita por equações diferenciais de ordem inteira, mas esse formalismo não captura adequadamente efeitos de transporte dependentes do tempo, como difusão anômala, deriva e interações moleculares de longo alcance. Modelos baseados em cálculo fracionário representam melhor esses fenômenos por meio de memória e dinâmicas não locais. Aplicamos o modelo à interação entre proteína Baru imobilizada (IBP) e o corante Vermelho do Congo (CR), em concentrações de 7,5 a 97,5 μM, pH 7,4 e 16 °C constantes. As variações nas constantes cinéticas ka e kd evidenciaram que o modelo clássico falha em descrever os dados experimentais, enquanto a formulação com derivadas fracionárias de Caputo, incorporando a função de Mittag-Leffler na solução, produziu ajuste superior e refletiu adequadamente a memória do sistema e o transporte anômalo.